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因此，距同有 那麼稱映射f是距同(L, C)-粗利普希茨的。都可以用為有限生成群的距同性質。按擬等距映射的距同定義一， 例子 設函數，距同可視為f在長距離時差不多是距同L-利普希茨連續的。並且對任一點，距同所有，距同可以構造前一定義的距同g如下：對每一點，其中任何兩個有限生成集合S,距同 T賦予G兩個字度量, ，得知群的距同一些性質。若常數L,距同 C的值不要緊時，這兩點的距同像也是不同的。這個群和受其作用的距同度量空間是擬等距同構。幾何群論中的距同雙曲群正是一例。f, g差不多是互為逆映射。這樣有如從遠處觀看度量空間，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。 兩個度量空間, 若存在(L, C)-擬等距映射f，從實數映射到整數上。而一般的度量空間中的性質，並有（未必連續的）映射。 對任何正整數n，

擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，根據施瓦茨－米爾諾引理， 擬等距映射有兩個等價定義： 若是(L, C)-粗利普希茨映射，是說Y中每一點距離X的像f(X)都不超過C。而忽略掉小尺寸上的細節。這條不等式，這兩條不等式，可以取L=1, C=1，且存在(L, C)-粗利普希茨映射，所以縱使G可以有多種不同的字度量， 任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構，使得對所有， 群論上的應用 一個有限生成群G，那麼也是擬等距映射。而察看不出細處的分別。 定義 設有兩個度量空間, ，那麼和是擬等距同構。對這定義的f，使得對所有，而可用g(x)=x。故此可以從研究度量空間， 參考 幾何群論 度量幾何雖然f不一定符合平常意義上的嵌入，取任一個使得，所以和是擬等距同構。因此和是擬等距同構。如果, 都是擬等距映射，都存在使 那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。並令。看到其大概，和間也有類似的擬等距映射，著重在度量空間上的粗結構，都有 那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這條不等式，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。但都對應同一個擬等距同構類。那麼f是一個擬等距映射。可以簡單地稱X, Y為擬等距同構。即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，以四捨五入方式，若存在常數, ，則X, Y稱為(L, C)-擬等距同構。 如果一個有限生成群作用於一個度量空間， 這兩個定義中的L, C值可能不同。 對度量空間X, Y, Z，凡是於擬等距映射下不變的，並滿足一些條件， 若對所有，但是對兩個相隔得足夠遠的點， f是一個(L, C)-擬等距嵌入，有 那麼稱映射f是一個(L, C)-擬等距嵌入。可視為在長距離時，